Arguments et angle

R appel

Soit \(\vec{w}\) un vecteur non nul du plan complexe d'affixe \(z\) . On a : \(\arg(z) \equiv \left(\vec{u};\vec{w}\right) \ [2\pi]\) .

Proposition

Soit \(\text A(z_\text A)\) et \(\text B(z_\text B)\) deux points distincts du plan complexe. On a :
\(\begin{align*}\arg(z_\text B-z_\text A) \equiv \left(\vec{u};\overrightarrow{\text A\text B}\right) \ [2\pi].\end{align*}\)

Démonstration

Le vecteur \(\overrightarrow{\text A\text B}\) a pour affixe \(z_\text B-z_\text A\) , donc \(\left(\vec{u};\overrightarrow{\text A\text B}\right) \equiv \arg(z_\text B-z_\text A) \ [2\pi]\) .

Exemple

Soit \(\text A(-1-3i)\) et \(\text B(4+2i)\) . On a alors  \(\begin{align*}\left(\vec{u};\overrightarrow{\text A\text B}\right)\equiv \arg(4+2i-(-1-3i))\equiv \arg(4+2i+1+3i)\equiv \arg(5+5i) \ [2\pi].\end{align*}\)

Or   \(\begin{align*}5+5i=5(1+i)=5\sqrt{2}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}+i\frac{1}{\sqrt{2}}\right)=5\sqrt{2}\text e^{\frac{i\pi}{4}}\end{align*}\) donc \(\left(\vec{u};\overrightarrow{\text A\text B}\right) \equiv \dfrac{\pi}{4} \ [2\pi]\) .